Sistem persamaan linear dan kuadrat

Nama = Devin Lucky Gunawan

Kelas = X MIPA 2

No.Absen = 6

SPLK itu apa sih?

 Sistem persamaan linear dan kuadrat atau disingkat SPLK adalah sistem persamaan yang terdiri atas sebuah persamaan linear dan sebuah persamaan kuadrat yang masing-masing bervariabel dua. Contoh SPLK adalah sebagai berikut.

y = 2 – x ………………. Persamaan (1)

y = x2 – 3x + 2 ……… Persamaan (2)

Nah, pada kesempatan kali ini kita akan menyajikan kumpulan contoh soal dan pembahasan tentang sistem persamaan linear dan kuadrat (SPLK) dengan menggunakan berbagai macam metode. Silahkan disimak baik-baik

Contoh soal SPLK

1. Carilah himpunan penyelesaian SPLK berikut, kemudian gambarkan sketsa tafsiran geometerinya.

y = x2 – 1

x – y = 3

Penyelesaian:

Persamaan x – y = 3 dapat kita tulis ulang menjadi bentuk berikut.

y = x – 3

subtitusikan y = x – 3 ke dalam persamaan y = x2 – 1 sehingga kita peroleh:

⇒ x – 3 = x2 – 1

⇒ x – 3 = x2 – 1

⇒ x2 – x – 1 + 3 = 0

⇒ x2 – x + 2 = 0

Persamaan kuadrat di atas sulit untuk difaktorkan. Jika kita hitung nilai diskriminannya dengan nilai a = 1, b = −1, dan c = 2, maka kita peroleh:

D = b2 – 4ac

D = (−1)2 – 4(1)(2)

D = 1 – 8

D = −7

Karena diskriminannya negatif (D < 1) maka persamaan kuadrat itu tidak memiliki penyelesaian. Oleh karena itu, SPLK di atas tidak memiliki penyelesaian sehingga himpunan penyelesaiannya dapat ditulis ∅. Interpretasi geometri dari SPLK ini adalah tidak adanya titik singgung maupun titik potong antara parabola dan garis lurus. Hal ini dapat kalian lihat pada gambar di bawah ini


2. Carilah himpunan penyelesaian SPLK berikut, kemudian gambarkan sketsa tafsiran geometerinya.

x + y + 2 = 0

y = x2 – x – 2

Penyelesaian:

Persamaan x + y + 2 = 0 dapat kita tuliskan sebagai berikut.

y = −x – 2

Subtitusikan nilai y = −x – 2 ke persamaan y = x2 – x – 2 sehingga diperoleh:

⇒ −x – 2 = x2 – x – 2

⇒ x2 – x + x – 2 + 2 = 0

⇒ x2 = 0

⇒ x = 0

Subtitusikan nilai x = 0 ke persamaan y = −x – 2 sehingga diperoleh:

⇒ y = −(0) – 2

⇒ y = –2

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(0, −2)}. Tafsiran geometrinya berupa titik singgung antara garis lurus dan kurva parabola, yaitu di titik (0, −2) seperti yang ditunjukkan pada gambar berikut ini.


3. Carilah himpunan penyelesaian dari SPLK berikut ini.

2x + 3y = 8

4x2 – 12xy + 9y2 = 16

Jawab:

Bagian kuadrat dapat difaktorkan sebagai berikut.

⇒ 4x2 – 12xy + 9y2 = 16

⇒ (2x – 3y)2 – 16 = 0

⇒ (2x – 3y + 4)(2x – 3y – 4) = 0

⇒ 2x – 3y + 4 = 0 atau 2x – 3y – 4 = 0

Jika hasil ini digabungkan dengan persamaan linear semula, maka akan diperoleh dua SPLDV, yaitu sebagai berikut.

2x + 3y = 8

………. SPLDV pertama

2x – 3y + 4 = 0


2x + 3y = 8

………. SPLDV kedua

2x – 3y – 4 = 0


Selanjutnya masing-masing SPLDV itu diselesaiakan dengan menggunakan salah satu dari metode penyelesaian SPLDV yang telah dibahas dalam artikel sebelumnya. Sebagai contoh, kita gunakan metode gabungan.

Menyelesaikan SPLDV pertama

Dengan menggunakan metode eliminasi, maka dari sistem persamaan 2x + 3y = 8 dan 2x – 3y + 4 = 0 kita peroleh nilai y sebagai berikut.

2x + 3y = 8

2x - 3y = -4

------------------ -

        6y = 12

          y = 2

Kemudian subtitusikan nilai y = 2 ke persamaan 2x + 3y = 8 sehingga diperoleh nilai x sebagai berikut.

⇒ 2x + 3(2) = 8

⇒ 2x + 6 = 8

⇒ 2x = 8 – 6

⇒ 2x = 2

⇒ x = 1

Dengan demikian, SPLDV pertama ini memberikan penyelesaian (1, 2).

Menyelesaikan SPLDV Kedua

Dengan menggunakan metode eliminasi, maka dari sistem persamaan 2x + 3y = 8 dan 2x – 3y – 4 = 0 kita peroleh nilai y sebagai berikut.

2x + 3y = 8

2x - 3y = 4

------------------ -

        6y = 4

          y = 4/6

          y = 2/3

Kemudian subtitusikan nilai y = 2/3 ke persamaan 2x + 3y = 8 sehingga diperoleh nilai x sebagai berikut.

⇒ 2x + 3(2/3) = 8

⇒ 2x + 6/3 = 8

⇒ 2x + 2 = 8

⇒ 2x = 8 – 2

⇒ 2x = 6

⇒ x = 3

Dengan demikian, SPLDV pertama ini memberikan penyelesaian (3, 2/3).

Jadi, himpunan penyelesaian SPLK tersebut adalah {(1, 2), (3, 2/3)}.

4. Carilah himpunan-himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear dan kuadrat berikut ini.

x + y = 0 ……….. bagian linear

x2 + y2 – 8 = 0 ….. bagian kuadrat berbentuk implisit yang tak dapat difaktorkan

Jawab:

Pada bagian persamaan linear, kita nyatakan y dalam x, yaitu sebagai berikut.

⇒ x + y = 0

⇒ y = x


Lalu subtitusikan persamaan y = x , ke persamaan kuadrat x2 + y2 – 8 = 0 sehingga kita peroleh:

⇒ x2 + y2 – 8 = 0

⇒ x2 + (x)2 – 8 = 0

⇒ x2 + x2 – 8 = 0

⇒ 2x2 – 8 = 0

⇒ x2 – 4 = 0

⇒ (x – 2)(x + 2) = 0

⇒ x = 2 atau x = −2


Setelah nilai-nilai x kita peroleh, selanjutnya subtitusikan x = 2 atau x = −2 ke persamaan linear x + y = 0, yaitu sebagai berikut.

■ untuk x = 2 diperoleh:

⇒ x + y = 0

⇒ 2 + y = 0

⇒ y = −2

Kita peroleh himpunan penyelesaian (2, −2)

■ untuk x = −2 diperoleh:

⇒ x + y = 0

⇒ −2 + y = 0

⇒ y = 2

Kita peroleh himpunan penyelesaian (−2, 2)


Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(2, −2), (−2, 2)}. Anggota-anggota dari himpunan penyelesaian SPLK tersebut dapat ditafsirkan sebagai koordinat titik potong garis x + y = 0 dengan lingkaran x2 + y2 = 8. Perhatikan gambar berikut ini


5. Carilah himpunan penyelesaian dari SPLK berikut ini.

x – y = 3 ……………………… bagian linear

x2 – 4xy + 4y2 – 25 = 0 …. bagian kuadrat


Bagian kuadrat dapat difaktorkan sebagai berikut.

⇒ x2 – 4xy + 4y2 – 25 = 0

⇒ (x – 2y)2 – 25 = 0

⇒ (x – 2y + 5)( x – 2y – 5) = 0

⇒ x – 2y + 5 = 0 atau x – 2y – 5 = 0

Jika hasil ini digabungkan dengan persamaan linear semula, maka akan diperoleh dua Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV), yaitu sebagai berikut.

x – y = 3

………. SPLDV pertama

x – 2y + 5 = 0


x – y = 3

………. SPLDV kedua

x – 2y – 5 = 0


Selanjutnya masing-masing SPLDV itu diselesaiakan dengan menggunakan salah satu dari metode penyelesaian SPLDV yang telah disebutkan sebelumnya. Sebagai contoh, kita gunakan metode gabungan.

Menyelesaikan SPLDV pertama

Dengan menggunakan metode eliminasi, maka dari sistem persamaan x – y = 3 dan x – 2y + 5 = 0 kita peroleh nilai y sebagai berikut.

x – y = 3

x - 2y = -5

---------------- -

      y = 8

Selanjutnya subtitusikan nilai y = 8 ke persamaan x – y = 3 sehingga diperoleh nilai x sebagai berikut.

⇒ x – 8 = 3

⇒ x = 3 + 8

⇒ x = 11

Dengan demikian, SPLDV pertama ini memberikan penyelesaian (11, 8).

Menyelesaikan SPLDV Kedua

Dengan menggunakan metode eliminasi, maka dari sistem persamaan x – y = 3 dan x – 2y – 5 = 0 kita peroleh nilai y sebagai berikut.

x – y = 3

x - 2y = 5

--------------- -

      y = -2

Selanjutnya subtitusikan nilai y = –2 ke persamaan x – y = 3 sehingga diperoleh nilai x sebagai berikut.

⇒ x – (–2) = 3

⇒ x + 2 = 3

⇒ x = 3 – 2

⇒ x = 11

Dengan demikian, SPLDV kedua ini memberikan penyelesaian (1, –2).

Jadi, himpunan penyelesaian SPLK tersebut adalah {(11, 8), (1, –2)}.


- Daftar Pustaka

blogspot.com, matematika.2021.Sistem persamaan linear dan kuadrat.Jakarta: blogger.com


Komentar

Posting Komentar

Postingan populer dari blog ini

LUAS SEGI-n BERATURAN, JARI-JARI LINGKARAN LUAR DAN LINGKARAN DALAM SEGITIGA, GARIS SINGGUNG PERSEKUTUAN LUAR/DALAM LINGKARAN

Gambar
 Nama : Devin Lucky Gunawan Kelas : X MIPA 2 Absen : 6 Luas Segi-n beraturan Pada segi n beraturan Setiap segi n beraturan bisa kita bagi menjadi n buah segitiga yang kongruen Setiap titik sudut pada segi n beraturan bisa dilalui sebuah lingkaran, lingkaran ini disebut lingkaran luar segi n. Semuat titik sudut akan dilewati lingkaran (tidak ada yang tertinggal). Menghitung luas segi n beraturan akan lebih mudah jika diketahui jari-jari lingkaran luarnya Setiap segi n bisa dibagi menjadi n buah segitiga yang kongruen seperti pada gambar di atas. Selanjutnya kita ambil salah satu segitiganya Besar sudut A adalah  Luas segitiga adalah LΔ = ½ .R.R sin A Luas segi n beraturan adalah Ln = n. LΔ Rumus ini merupakan rumus luas segi n beraturan yang diketahui jari-jari lingkaran luarnya.   Bagaimana jika diketahui sisinya ? Pertama kita cari dulu hubungan antara jari-jari lingkaran luar (R) dengan sisinya (a) Dengan aturan cosinus maka a2 = R2 + R2 — 2R.R cos A a2 = 2R2 — 2R2 cos ...
Baca selengkapnya

SOAL DAN PEMBAHASAN FUNGSI TRIGONOMETRI

Gambar
 Nama : Devin Lucky Gunawan Kelas : X MIPA 2 Absen : 6 Fungsi Trigonometri Bentuk kurva fungsi trigonometri atau grafik fungsi trigonometri Suatu fungsi trigonometri f(x) harus terdefinisi pada daerah asalnya dengan nilai x adalah bilangan real. Grafik fungsi trigonometri y = sin x untuk 0 ≤ x ≤ 2π Contoh 1 Diketahui persamaan trigonometri sin 2x = cos 3x, maka himpunan penyelesaiannya adalah…. Pembahasan: sin 2x = cos 3x sin 2x = sin (90° – 3x) 2x = 90° – 3x + k 360° 5x = 90° + k 360° Himpunan penyelesaian dari sin 2x = cos 3x adalah (18°, 90°, 162°, 234°, 306°). Contoh 2 Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan 2 sin2 3x + 2 sin 3x = -4 ! Pembahasan: 2 sin2 3x + 2 sin 3x = -4 2 sin2 3x + 2 sin 3x + 4 = 0 sin2 3x + sin 3x + 2 = 0 (sin 3x + 2)(sin 3x – 1) = 0 Himpunan penyelesaian dari 2 sin2 3x + 2 sin 3x = -4 adalah (30°). Contoh 3  Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan 3 cos x + 4 sin x = 5. Pembahasan: Rumus trigonometri Daftar : Devin, Lucky Gunawan.2022SOAL...
Baca selengkapnya